Diese Seite dient zur Dokumentation meiner Lernfortschritte und meiner Vorbereitung auf die Ausbildung mit BMS.
Es handelt sich hierbei nicht um ausführliche Texte, sondern primär um eine Sammlung von Formeln und eventuell kurzen Erklärungen.
Ziel ist es, meine Lernbemühungen nachvollziehbar zu machen.
Der folgende Lernplan wurde mit Unterstützung von ChatGPT und Grok erstellt und strukturiert meine Vorbereitung.
Lernplan Mathematik
- Grundlagen & Rechnen
- Grundrechenarten
- Potenzen & Wurzeln
- Bruchrechnung
- Dezimalzahlen & Prozentrechnung
- Einheiten umrechnen (Längen, Flächen)
- Algebra & Gleichungen
- Terme umformen & vereinfachen
- Lineare Gleichungen & Ungleichungen
- Quadratische Gleichungen (pq-Formel)
- Exponentialgleichungen
- Geometrie & Trigonometrie
- Winkel & Dreiecke
- Satz des Pythagoras
- Sinus, Kosinus, Tangens
- Flächenberechnung
- Funktionen & Stochastik
- Lineare Funktionen
- Quadratische Funktionen
- Exponentialfunktionen *
- Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Statistik (Mittelwert, Streuung)
Grundlagen und Rechnen
Grundlagen und Rechnen
In den letzten Tagen habe ich in Mathematik die folgenden Themen repetiert:
-
Grundrechenarten
Also die absoluten Basics: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.
-
Potenzen und Wurzeln
Potenzgesetze
-
Multiplikation gleicher Basen:
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) -
Division gleicher Basen:
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) -
Potenz einer Potenz:
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) -
Negative Exponenten:
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) -
Potenz von Produkten:
\( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \)
Wurzelgesetze
-
Definition der Quadratwurzel:
\( \sqrt{a} = x \quad \text{wenn} \quad x^2 = a \)
Beispiel: \( \sqrt{9} = 3, \quad \text{denn} \quad 3^2 = 9 \) -
Definition der n-ten Wurzel:
\( \sqrt[n]{a} = x \quad \text{wenn} \quad x^n = a \)
Beispiel: \( \sqrt[3]{8} = 2, \quad \text{denn} \quad 2^3 = 8 \) -
Multiplikation von Wurzeln:
\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
Beispiel: \( \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \) -
Division von Wurzeln:
\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad \text{mit} \quad b \neq 0 \)
Beispiel: \( \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2 \) -
Addition und Subtraktion von Wurzeln:
Nur gleiche Wurzeln dürfen addiert/subtrahiert werden:
\( a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b} \)
Beispiel: \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
-
Wurzeln vereinfachen:
Zerlege die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus Quadrat- und anderer Zahl:
\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
Beispiel 1: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
Beispiel 2: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) -
Wurzeln mit Variablen:
\( \sqrt{x^m} = x^{m/2} \)
- Falls \( m \) gerade ist: \( \sqrt{x^2} = x \)
- Falls \( m \) ungerade ist: \( \sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \cdot x} = x^2 \cdot \sqrt{x} \)
Beispiel: \( \sqrt{a^6 b^4} = a^3 b^2 \) -
Rationalisieren von Brüchen mit Wurzeln:
Einfache Regel: \( \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \)
Beispiel 1: \( \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
Für Summen im Nenner:
\( \frac{1}{a + \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b} \)
Beispiel 2: \( \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3} \) -
n-te Wurzeln und Potenzen:
\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)
Beispiel: \( \sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = 2 \)
Umwandlung von Potenzen mit Brüchen:
\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \)
Beispiel: \( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
Bruchrechnung
-
Addition/Subtraktion von Brüchen:
Nur bei gleichnamigen Nennern direkt addierbar. Sonst müssen die Brüche zuerst gleichnamig gemacht werden.
Allgemeine Regel: \( \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d} \) -
Multiplikation von Brüchen:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:
\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \) -
Division von Brüchen (Kehrwertregel):
Statt zu dividieren, multipliziere mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:
\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)
Prozentrechnung
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Grundformel:
\( \text{Prozentwert} = \frac{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}}{100} \)
\( W = \frac{p \cdot G}{100} \) -
Grundwert berechnen:
\( G = \frac{W \cdot 100}{p} \) -
Prozentsatz berechnen:
\( p = \frac{W \cdot 100}{G} \) -
1% berechnen (Dreisatz-Methode):
\( 1\% = \frac{G}{100} \), dann: \( W = 1\% \cdot p \) -
Prozentuale Veränderung:
\( \text{Veränderung in \%} = \frac{\text{Differenz}}{\text{Ausgangswert}} \cdot 100 \) -
Wachstumsformel (Exponentielles Wachstum):
\( \text{Endwert} = \text{Anfangswert} \cdot \left(1 + \frac{p}{100} \right)^t \)
mit: \( p \) = Wachstumsrate in Prozent \( t \) = Zeit (z. B. Jahre)
-
Multiplikation gleicher Basen:
Algebra & Gleichungen
Algebra & Gleichungen
Da die meisten Themen aus dem 1. Monat einfacher waren, habe ich bereits mit dem 2. Monat meines Mathematik-Lernplans begonnen. Hier liste ich die Themen auf, die ich bis jetzt aufgefrischt habe:
Terme umformen & Faktorisieren
1. Distributivgesetz (Klammern auflösen):\( a(b + c) = ab + ac \)
2. Ausklammern (Faktorisieren):\( ab + ac = a(b + c) \)
3. Schritt-für-Schritt-Faktorisierung:-
Gemeinsamer Faktor:
Beispiel: \( 6x^2 + 9x = 3x(2x + 3) \)
Binomische Formeln
-
1. Binomische Formel:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) -
2. Binomische Formel:
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) -
3. Binomische Formel:
\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Lineare Gleichungen
Grundprinzip:
Eine lineare Gleichung hat die Form:
\( ax + b = c \)
Umstellen nach \( x \):
\( x = \frac{c - b}{a} \)
Beim Lösen von Ungleichungen gilt:
Wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Beispiel:
\( -2x > 6 \quad \big| \div (-2) \quad \Rightarrow \quad x < -3 \)
Quadratische Gleichungen – Übersicht & Methoden
Je nach Form der Gleichung gibt es verschiedene Lösungswege:
| Form der Gleichung | Beispiel | Methode | Kommentar |
|---|---|---|---|
| \( ax^2 + bx + c = 0 \) | \( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \) | Mitternachtsformel | Immer einsetzbar, auch wenn \( a \ne 1 \) |
| \( x^2 + px + q = 0 \) | \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) | pq-Formel | Nur wenn \( a = 1 \) |
| \( x^2 + bx = 0 \) | \( x^2 + 2x = 0 \) | Ausklammern | Klammer \( x \) aus: \( x(x + 2) = 0 \) |
| \( (x \pm a)^2 = b \) | \( (x - 2)^2 = 9 \) | Wurzelziehen | Direkt mit \( \pm \sqrt{b} \) lösen |
| \( x^2 = k \) | \( x^2 = 16 \) | Wurzelziehen | Einfach: \( x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \) |
| Fast binomisch | \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) | pq oder Ergänzen | Ergänzen ist Theorievariante |
| Kein \( q \)-Term | \( x^2 - 4x = 0 \) | Ausklammern | Zwei Lösungen durch Nullregel |
| Kein \( x \)-Term | \( x^2 - 9 = 0 \) | Wurzelziehen (pq auch möglich) |
-
pq-Formel (für \( x^2 + px + q = 0 \)):
\( x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q } \) -
Mitternachtsformel (für \( ax^2 + bx + c = 0 \)):
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) -
Nullproduktregel (Ausklammern):
Wenn \( x(x + a) = 0 \), dann:
\( x = 0 \quad \text{oder} \quad x = -a \) -
Wurzelziehen (wenn \( (x \pm a)^2 = b \)):
\( x \pm a = \pm \sqrt{b} \quad \Rightarrow \quad x = -a \pm \sqrt{b} \)